Unterrichtsmaterialien Mathematik: Heronverfahren
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Sichtweisen auf die AnalysisIm vorliegenden Beitrag werden die verschiedenen Sichtweisen auf Analysis vorgestellt. Der Hauptteil des Artikels fokussiert dabei auf konkrete Phänomene und Begriffe, die potentielle Schwierigkeiten beim Übergang zur Hochschule bergen; solche Schwierigkeiten treten insbesondere dann auf, wenn die bisher in der spezifischen Schulsichtweise betrachteten Begriffe in der Hochschule thematisiert werden.
Ableitung
5-13. Klasse
Sekundarstufe
14 SeitenAbleitung5-13. KlasseSekundarstufe14 SeitenTesten kostet nichts
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Mathe-Welt ML 246blau - gelb - hellblau - rot - gelb - rot - gelb - rot ... Steht das für eine rationale Zahl? Das Arbeitsheft wählt einen visuellen Zugang bei der Zahlbereichserweiterung von den rationalen zu den reellen Zahlen. Dezimalzahlen werden in Farbmuster übersetzt, wobei jede Ziffer von 0 bis 9 eine eigene Farbe bekommt. Anhand der Farbmuster ist erkennbar, dass manche dieser so dargestellten gebrochenen Zahlen eine abbrechende, manche eine periodische und manche eine gemischt-periodische Dezimaldarstellung besitzen. Sogar die Periodenlänge lässt sich ablesen, wenn das Muster lang genug ist. Mit der Einführung des Potenzbegriffs, dem Lösen quadratischer Gleichungen und dem Berechnen von Quadratwurzeln kommen reelle Zahlen ins Spiel. Bei irrationalen Zahlen lassen sich in den dazugehörigen Farbmustern keine Regelmäßigkeiten oder Wiederholungen entdecken. Da es beliebig lange Perioden gibt, ist es bei Farbmustern, die abgeschnitten werden müssen, nicht immer klar, ob eine rationale oder irrationale Zahl vorliegt. Wer findet es heraus? Irrationale Zahlen vom höheren Standpunkt aus zu verstehen, ist nicht einfach. Die MatheWelt setzt daher im Sinne des Spiralprinzips beim Zahlbereich der gebrochenen Zahlen an, die zu den reellen Zahlen erweitert werden. Die visuelle Übersetzung in Farbmuster hilft, diese Zahlen zu entdecken und eine Vorstellung von Periodizität und Nicht-Periodizität zu entwickeln. So erkennen wir sogar Perioden mit der Länge 239 auf einen Blick! Gearbeitet wird fast immer ohne Taschenrechner. Wir wandeln Brüche in ihre dezimale Darstellung um und können dazu z. B. schriftliche Division nutzen. Eine Frage, die dann beantwortet werden soll ist: Bei welchen gebrochenen Zahlen erhalten wir eine Periode und woran erkenne ich dies? Wer fit ist, kann in einem Dominospiel Zahlen und Muster einander zuordnen. An das neue Wissen zur Entstehung von rein periodischen, gemischt periodischen und abbrechenden Dezimalzahlen, knüpfen erste Versuche zum künstlichen Produzieren und rechnerischen Entstehen von irrationalen Zahlen an – mit ersten, primitiven Regeln, aber auch mithilfe des Heron-Verfahrens zum Wurzelziehen. So verstehen wir: Wie bestimmt ein einfacher Taschenrechner die Nachkommastellen von Quadratwurzeln? Der schrittweise Aufbau mit immer größeren Farbmustern zieht sich als roter Faden durch die MatheWelt. Dies und eine mögliche Umsetzung des Heron-Verfahrens in Programmcode eröffnen Fächerverbindungen in die Kunst und Informatik.
Arbeitsmittel und Methoden8-9. KlasseSekundarstufe 116 SeitenArbeitsmittel und Methoden8-9. KlasseSekundarstufe 116 Seiten
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Durch geschickte algebraische Umformung Wurzelausdrücke vereinfachen, Heron’sche FormelDurch geschickte algebraische Umformung Wurzelausdrücke vereinfachen, Heron’sche Formel
Heronverfahren10. KlasseGymnasium1 SeiteHeronverfahren10. KlasseGymnasium1 Seite
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Heron-Verfahren / Beweis von Euklid / Irrationalen Zahlen auf dem Zahlenstrahl / Rechnen mit QuadratwurzelnDie Arbeitsblätter M 5 bis M 8 sind Vorschläge zur Gestaltung eines Lernzirkels. Falls möglich, können hier neue Medien (bevorzugt Tabellenkalkulationsprogramme und Taschenrechnersysteme) eingesetzt werden.
Funktionen9. KlasseGymnasium4 SeitenFunktionen9. KlasseGymnasium4 SeitenVerwandte Themen
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Die Katze im n-Eck - Das Programm Scratch als Zugang zur Geometrie nutzenBeim Programmieren mit Scratch werden einer virtuellen Katze Handlungsanweisungen erteilt, die diese dann ausführt. Durch die vorgefertigten Programmierbausteine ist es nicht notwendig, die Syntax einer Programmiersprache zu beherrschen. Die SuS lernen dabei, feste Abläufe zu modellieren und strukturiert zu denken.
Heronverfahren5-6. KlasseSekundarstufe 14 SeitenHeronverfahren5-6. KlasseSekundarstufe 14 Seiten
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Tandembogen und Irrgarten – eine Einführung der irrationalen ZahlenDie SuS befassen sich mit irrationalen Zahlen und bearbeiten verschiedene Übungsaufgaben. Hinweise und Lösungen sind enthalten.
Funktionen8. KlasseGesamtschule11 SeitenFunktionen8. KlasseGesamtschule11 Seiten
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Unsichtbarkeit und DurchblickWie oft sieht man in Beweisfiguren zu geometrischen Sachverhalten den Wald vor lauter Bäumen nicht! Hier kann Geometrie-Software wie GeoGebra von großer Hilfe sein, indem die für die entscheidende Einsicht irrelevanten Hilfslinien unsichtbar gemacht (aber nicht gelöscht) werden können. Umgekehrt besteht Durchblick darin, von unwesentlichen Details abzusehen. Die beiden Substantive der Überschrift hängen eng miteinander zusammen. Dass die Möglichkeit des Unsichtbarmachens den Durchblick befördern kann, wird anhand der Dreiecksflächenformel von HERON, anhand einer Sangaku-Aufgabe aus dem alten Japan und anhand eines Zugangs zur EULER-Relation bezüglich der Um- und Berührkreisradien eines Dreiecks erläutert. An manchen Stellen wird der Umfangswinkelsatz und der daraus folgende Sehnensatz verwendet.
Funktionen5-13. KlasseSekundarstufe8 SeitenFunktionen5-13. KlasseSekundarstufe8 Seiten
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